Вопрос школьника
Длина стороны квадрата ABCD равна 16 см. Середины его сторон соединены отрезками так, что они образовали квадрат. Предложите способ вычисления площади этого квадрата.
Ответ от учителя
Для вычисления площади квадрата, образованного серединами сторон исходного квадрата, можно воспользоваться следующим способом:
1. Найдем длину диагонали исходного квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$, где a и b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
В нашем случае a = b = 16 см, поэтому:
$16^2 + 16^2 = c^2$
$256 + 256 = c^2$
$c^2 = 512$
$c = sqrt{512} approx 22.63$ см
2. Найдем длину стороны квадрата, образованного серединами сторон исходного квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю исходного квадрата и его стороной:
$a^2 + b^2 = c^2$, где a и b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
$a = b = frac{16}{2} = 8$ см, $c = sqrt{2} cdot 16$ см (так как диагональ исходного квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника)
$8^2 + 8^2 = (sqrt{2} cdot 16)^2$
$128 = 32 cdot 2 cdot 2$
$32 = 4 cdot 2 cdot 2$
$32 = 2^5$
$sqrt{2} cdot 16 = 8sqrt{2}$ см
3. Найдем площадь квадрата, образованного серединами сторон исходного квадрата. Для этого воспользуемся формулой для площади квадрата:
$S = a^2$, где a — длина стороны квадрата.
$a = 8sqrt{2}$ см
$S = (8sqrt{2})^2 = 128$ см$^2$
Таким образом, площадь квадрата, образованного серединами сторон исходного квадрата, равна 128 квадратных сантиметров.
