Вопрос школьника
Около окружности описана равнобедренная трапеция, длина боковой стороны равна 6 см, а градусная мера угла при основании трапеции равна 150°. Вычислите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину оснований трапеции и ее высоту. Затем мы можем использовать формулу для площади трапеции: S = (a + b) * h / 2, где a и b — длины оснований, h — высота.
Для начала найдем длину диагонали трапеции, которая является радиусом описанной окружности. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и половиной основания трапеции:
d^2 = 6^2 + (b/2)^2 — 2 * 6 * (b/2) * cos(150°)
d^2 = 36 + b^2/4 — 6b * cos(150°)
d^2 = 36 + b^2/4 + 3b
Также мы знаем, что диагональ равна радиусу описанной окружности, которая проходит через середины оснований трапеции. Поэтому мы можем записать:
d = (a + b) / 2
a + b = 2d
Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений, чтобы найти длины оснований:
d^2 = 36 + b^2/4 + 3b
a + b = 2d
a = 2d — b
(2d — b)^2 = 36 + b^2/4 + 3b
4d^2 — 4db + b^2 = 144 + b^2/4 + 3b
16d^2 — 16db + 4b^2 = 576 + b^2 + 12b
16d^2 — 16db — 572 = -8b^2 — 12b
2d^2 — 2db — 71 = -b^2 — (3/2)b
b^2 + (3/2)b — 2d^2 + 2db + 71 = 0
Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно b:
b = (-3/4) ± sqrt((3/4)^2 + 2d^2 — 2db — 71)
b = (-3/4) ± sqrt((3/4)^2 + 2d(d — 6) — 71)
b = (-3/4) ± sqrt(2d^2 — 12d — 47/4)
Так как b должно быть положительным, мы выбираем положительный корень:
b = (-3/4) + sqrt(2d^2 — 12d — 47/4)
Теперь мы можем найти длину второго основания, используя уравнение a + b = 2d:
a = 2d — b
Теперь мы можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и радиусом описанной окружности:
h^2 = d^2 — (b/2)^2
h^2 = d^2 — ((-3/8) + (1/2)sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))^2
Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу S = (a + b) * h / 2:
S = (a + b) * h / 2
S = (2d — b + b) * sqrt(d^2 — (b/2)^2) / 2
S = d * sqrt(d^2 — (b/2)^2)
Подставляя найденные значения для d и b, мы получаем:
S = sqrt((6 + sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))^2 — 36) * sqrt(d^2 — ((-3/8) + (1/2)sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))^2)
S = sqrt(2d^2 — 12d — 47/4) * sqrt(d^2 — ((-3/8) + (1/2)sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))^2)
S = sqrt(2d^2 — 12d — 47/4) * sqrt(d^2 — (9/64) — (3/8)sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))
Теперь остается только подставить значение для d, которое мы нашли ранее:
d = sqrt(36 + b^2/4 + 3b)
d = sqrt(36 + ((-3/4) + sqrt(2d^2 — 12d — 47/4))^2/4 + 3((-3/4) + sqrt(2d^2 — 12d — 47/4)))
Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому мы можем использовать численные методы для его решения. Например, мы можем использовать метод Ньютона для нахождения корня этого уравнения. После нескольких итераций мы можем получить приближенное значение для d, которое мы можем подставить в формулу для площади трапеции и получить окончательный ответ.
