Вопрос школьника
Докажите, что: а) в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны между собой; б) если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC. Проведем высоты BD и CE к сторонам AC и AB соответственно. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD=CE (по свойству равнобедренной трапеции). Также из прямоугольных треугольников ABD и ACE следует, что AD=AE. Таким образом, мы получили, что BD=CE и AD=AE, то есть высоты, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.
б) Рассмотрим треугольник ABC, в котором высоты BD и CE равны между собой. Пусть BD=CE=h. Так как BD и CE являются высотами, то они перпендикулярны к сторонам AC и AB соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и ACE. В них AD=h*cos(BAC/2) и AE=h*cos(BAC/2), так как угол между высотой и основанием равен половине угла при вершине. Таким образом, AD=AE, то есть стороны AB и AC равны между собой, и треугольник ABC является равнобедренным.
