Вопрос школьника
На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки P, Q, R и T так, что AP : CR = AT : CQ = 1 : 2. В каком отношении прямая QT делит отрезок PR?
Ответ от учителя
Поскольку AP : CR = 1 : 2, то можно представить, что точка P находится на отрезке AC, а точка R находится на отрезке BD, причем AP = 1/3 AC и CR = 2/3 BD. Аналогично, можно представить, что точка Q находится на отрезке BC, а точка T находится на отрезке AD, причем AT = 1/3 AD и CQ = 2/3 BC.
Таким образом, отрезок PR является диагональю параллелограмма ABCD и делится прямой QT на две части. Обозначим точку пересечения QT и PR как X.
Тогда, по теореме Талеса, можно записать:
PX/XT = AP/AT = 1/3
RX/XT = CR/CQ = 2/3
Сложив эти два уравнения, получим:
(PX + RX)/XT = 1
То есть, отрезок PR делится прямой QT в отношении 1 : 1. Ответ: QT делит отрезок PR пополам.
