Вопрос школьника
Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 20 см и 4 см. Найдите радиус данной окружности.
Ответ от учителя
Пусть данная точка внутри окружности имеет координаты (x, y), а радиус окружности равен r. Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом, наибольшим расстоянием и линией, соединяющей данную точку с точкой наименьшего расстояния, получаем:
$(r-20)^2 + x^2 + y^2 = r^2$
Аналогично, для треугольника, образованного радиусом, наименьшим расстоянием и линией, соединяющей данную точку с точкой наибольшего расстояния, получаем:
$(r-4)^2 + x^2 + y^2 = r^2$
Раскрыв скобки и упростив, получаем систему уравнений:
$begin{cases} x^2 + y^2 — 40r + 400 = 0 \ x^2 + y^2 — 8r + 16 = 0 end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе и получим:
$32r — 384 = 0$
$r = 12$
Таким образом, радиус данной окружности равен 12 см.
