Вопрос школьника
Докажите теорему о свойстве углов вписанного окружность четырёхугольника: если четырёхугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащие углов равна 180°.
Ответ от учителя
Для доказательства данной теоремы рассмотрим вписанный четырёхугольник ABCD и его вписанную окружность. Проведём диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.
Так как угол AOC и угол BOD являются центральными углами, то они равны половине соответствующих им дуг на окружности. Также, угол AOB и угол COD являются пересекающимися хордами, и по свойству пересекающихся хорд, угол AOB равен половине суммы дуг AC и BD, а угол COD равен половине суммы дуг AD и BC.
Таким образом, сумма углов AOB и COD равна половине суммы всех четырёх дуг на окружности, то есть половине 360°, то есть 180°. А так как углы AOC и BOD являются смежными, то их сумма также равна 180°.
Таким образом, мы доказали, что сумма противолежащих углов в вписанном четырёхугольнике равна 180°.
