Вопрос школьника
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать знания о свойствах прямоугольного параллелепипеда и тригонометрии.
Из свойств прямоугольного параллелепипеда мы знаем, что диагональ параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его трех измерений:
$d = sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
где $a$, $b$ и $c$ — длины сторон параллелепипеда.
Также мы знаем, что угол между диагональю и одной из сторон основания равен 45 градусам. Это означает, что мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины бокового ребра.
Для этого нам нужно найти косинус угла между диагональю и боковым ребром. Мы можем использовать формулу косинуса для нахождения косинуса угла:
$cos alpha = frac{a}{d}$
где $alpha$ — угол между диагональю и боковым ребром, $a$ — длина бокового ребра, $d$ — длина диагонали.
Мы знаем, что угол между диагональю и основанием равен 45 градусам, поэтому угол между диагональю и боковым ребром также равен 45 градусам. Таким образом, мы можем записать:
$cos 45^circ = frac{a}{d}$
$frac{1}{sqrt{2}} = frac{a}{sqrt{12^2 + 5^2 + c^2}}$
Упрощая выражение, получаем:
$a = frac{sqrt{2}}{2} cdot sqrt{12^2 + 5^2 + c^2}$
Теперь нам нужно найти длину третьей стороны параллелепипеда. Мы знаем, что стороны основания равны 12 см и 5 см, поэтому третья сторона равна:
$c = sqrt{12^2 — 5^2} = sqrt{119}$
Подставляя это значение в выражение для $a$, получаем:
$a = frac{sqrt{2}}{2} cdot sqrt{12^2 + 5^2 + (sqrt{119})^2} approx 13.4 text{ см}$
Таким образом, боковое ребро параллелепипеда равно примерно 13.4 см.
