Вопрос школьника
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание свойств равнобедренной трапеции. Одно из таких свойств гласит, что биссектриса угла при основании равна высоте трапеции. Также мы знаем, что биссектриса угла при основании делит его на две равные части.
Пусть боковая сторона трапеции равна $a$, а меньшее основание равно $b$. Тогда, по свойству биссектрисы, высота трапеции равна $h=frac{a}{2}tanfrac{60^circ}{2}=frac{a}{2}tan30^circ=frac{a}{2}cdotfrac{1}{sqrt{3}}=frac{asqrt{3}}{6}$. Также мы знаем, что $b$ равно одной из боковых сторон трапеции, то есть $b=a$.
Чтобы найти радиус описанной окружности трапеции, нам нужно найти диагональ трапеции. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной боковой стороны и диагональю трапеции:
$$left(frac{a}{2}right)^2+h^2=d^2,$$
где $d$ – диагональ трапеции.
Подставляя значения $h$ и $b=a$, получаем:
$$left(frac{a}{2}right)^2+left(frac{asqrt{3}}{6}right)^2=d^2,$$
$$frac{a^2}{4}+frac{a^2}{9}=d^2,$$
$$frac{13a^2}{36}=d^2,$$
$$d=frac{asqrt{13}}{6}.$$
Теперь мы можем найти радиус описанной окружности, воспользовавшись формулой для радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R=frac{d}{2}=frac{asqrt{13}}{12}.$$
Осталось найти значение $a$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной меньшего основания и диагональю трапеции:
$$left(frac{b}{2}right)^2+h^2=d^2,$$
где $h$ мы уже нашли, а $d$ равно $frac{asqrt{13}}{6}$.
Подставляя значения $h$ и $b$, получаем:
$$left(frac{a}{2}right)^2+left(frac{asqrt{3}}{6}right)^2=left(frac{asqrt{13}}{6}right)^2,$$
$$frac{a^2}{4}+frac{a^2}{9}=frac{13a^2}{36},$$
$$frac{7a^2}{36}=0,$$
что невозможно. Значит, такой трапеции не существует.
Ответ: такой трапеции не существует.
