Вопрос школьника
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем OA = OB = OD. Точки M и N – середины сторон AB и AD. Докажите, что четырехугольник AMON – прямоугольник.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник AMON является прямоугольником, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и что углы при вершинах M и N являются прямыми.
Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как OA = OB = OD, то треугольники AOB и COD равнобедренные. Значит, углы OAB и OBA равны, а также углы OCD и ODC равны. Также известно, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Значит, углы AOC и BOD также равны.
Теперь рассмотрим треугольники AOM и DON. Так как точки M и N являются серединами сторон AB и AD соответственно, то AM = MB и DN = NA. Также известно, что углы OAM и ODN равны, так как они являются вертикальными углами. Значит, треугольники AOM и DON равны.
Из равенства треугольников AOM и DON следует, что углы AMO и DNO равны. Также известно, что углы AOC и BOD равны. Значит, углы AMO и DNO являются дополнительными к углам AOC и BOD соответственно.
Таким образом, углы AMO и DNO являются прямыми, так как углы AOC и BOD являются прямыми. Также стороны AM и ON параллельны, так как они являются биссектрисами углов AOB и COD соответственно. Аналогично, стороны AN и OM параллельны.
Итак, мы показали, что стороны AM и ON, а также стороны AN и OM параллельны, а углы AMO и DNO являются прямыми. Значит, четырехугольник AMON является прямоугольником.
