Вопрос школьника
Десять занумерованных шаров случайным образом размещают по трём урнам. Найти вероятность того, что в первой урне окажется два шара, во второй — три и в третьей урне — пять шаров.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи воспользуемся формулой комбинаторики. Всего возможно $3^{10}$ способов разместить 10 шаров по 3 урнам.
Теперь рассмотрим, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 10 для первой урны. Это можно сделать $C_{10}^2$ способами.
Далее, сколькими способами можно выбрать 3 шара из оставшихся 8 для второй урны. Это можно сделать $C_{8}^3$ способами.
И, наконец, сколькими способами можно выбрать 5 шаров из оставшихся 5 для третьей урны. Это можно сделать $C_{5}^5$ способами.
Таким образом, общее число способов, которыми можно разместить 10 шаров по 3 урнам, удовлетворяющим условию задачи, равно произведению числа способов выбрать шары для каждой урны:
$$C_{10}^2 cdot C_{8}^3 cdot C_{5}^5 = frac{10!}{2!8!} cdot frac{8!}{3!5!} cdot frac{5!}{5!0!} = 2520$$
Таким образом, вероятность того, что в первой урне окажется два шара, во второй — три и в третьей урне — пять шаров, равна отношению числа способов, удовлетворяющих условию задачи, к общему числу способов разместить 10 шаров по 3 урнам:
$$P = frac{2520}{3^{10}} approx 0.054$$
Таким образом, вероятность того, что в первой урне окажется два шара, во второй — три и в третьей урне — пять шаров, составляет примерно 5.4%.
