Вопрос школьника
Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты ВD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если АН = 4√2
Ответ от учителя
Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20, значит, высота, опущенная на основание АС, равна:
h = (2 * 20) / AC
h = 40 / AC
Так как треугольник АВС равнобедренный, то BD является медианой и высотой, а значит, BD = h.
Также, так как треугольник АНС прямоугольный, то:
AN^2 + h^2 = AC^2
(4√2)^2 + h^2 = AC^2
16 * 2 + h^2 = AC^2
32 + h^2 = AC^2
h^2 = AC^2 — 32
BD^2 = AC^2 — 32
BD = √(AC^2 — 32)
Аналогично, высота, опущенная на сторону ВС, равна:
h = (2 * 20) / BC
h = 40 / BC
Так как треугольник АВС равнобедренный, то AN является медианой и высотой, а значит, AN = h.
Также, так как треугольник ВНС прямоугольный, то:
BN^2 + h^2 = BC^2
BN^2 + (4√2)^2 = BC^2
BN^2 + 32 = BC^2
BN^2 = BC^2 — 32
BN = √(BC^2 — 32)
Треугольник ВКН является прямоугольным, так как ВН является высотой, а значит, его площадь равна:
S(ВКН) = (BN * AN) / 2
S(ВКН) = (√(BC^2 — 32) * 4√2) / 2
S(ВКН) = 2√2 * √(BC^2 — 32)
Таким образом, чтобы найти площадь треугольника ВКН, необходимо знать длину стороны ВС (или АС), которую можно найти из уравнения h = 40 / BC (или h = 40 / AC) и уравнения h^2 = AC^2 — 32 (или h^2 = BC^2 — 32).
