Вопрос школьника
Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона 27 см. К боковым сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, концами которого являются основания высот.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 18 см, а BC = 27 см. Проведем высоты из вершины A на стороны BC, AB и AC. Обозначим точки их пересечения со сторонами как D, E и F соответственно.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота из вершины A является биссектрисой угла BAC и медианой стороны BC. Значит, точка D является серединой стороны BC.
Также, так как треугольник ABC равнобедренный, то высоты AE и AF являются медианами и биссектрисами соответственно. Значит, точки E и F также являются серединами сторон AB и AC.
Таким образом, мы получаем, что отрезок EF является медианой треугольника ABC, а отрезок BD является высотой. По свойству медианы, отрезок EF равен половине основания BC, то есть EF = BC/2 = 27/2 = 13.5 см.
Также, по свойству высоты, треугольник ABD подобен треугольнику ABC, и отношение высоты BD к основанию AB равно √3/2. Значит, BD = AB * √3/2 = 18 * √3/2 = 9√3 см.
Таким образом, отрезок, концами которого являются основания высот, равен сумме отрезков EF и BD: EF + BD = 13.5 + 9√3 ≈ 28.39 см.
