Вопрос школьника
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6
Ответ от учителя
Пусть точки касания касательных с окружностью обозначены как B и C, а радиус окружности — как r. Также обозначим точку пересечения отрезков АО и ВС как D.
Так как О — центр окружности, то ОD является радиусом окружности и равен r. Также, так как AB и AC — касательные, то они перпендикулярны к радиусу OD и, следовательно, являются радиусами окружностей с центрами в точках B и C соответственно.
Таким образом, треугольник ABC является равносторонним, так как угол между касательными равен 60°. Значит, AB = AC = BC = r.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Мы знаем, что OD = r и AD = 6. Так как угол AOD равен 30° (половина угла между касательными), то мы можем найти значение AO как AO = AD / sin(30°) = 12.
Наконец, мы можем найти радиус окружности, используя теорему Пифагора для треугольника AOD: r^2 = AO^2 — OD^2 = 144 — r^2. Отсюда получаем r^2 = 72, и, следовательно, r = √72 = 6√2. Ответ: радиус окружности равен 6√2.
