Вопрос школьника
Даны окружность с центром О радиуса 4 см и точка А такая, что ОА = 8 см. На какой угол надо повернуть вокруг точки А окружность с центром О, чтобы её образ касался данной окружности?
Ответ от учителя
Для того чтобы образ окружности с центром О касался данной окружности, необходимо, чтобы расстояние между центрами окружностей было равно сумме или разности их радиусов. В данном случае, расстояние между центрами окружностей равно ОА = 8 см, а сумма радиусов равна 4 см + r, где r — радиус образа окружности с центром О.
Таким образом, уравнение для нахождения радиуса образа имеет вид:
8 = 4 + r или 8 = r — 4
Первое уравнение дает r = 4, а второе — r = 12. Очевидно, что второй вариант не подходит, так как образ окружности с центром О должен находиться внутри данной окружности. Значит, радиус образа равен 4 см.
Для того чтобы найти угол поворота, необходимо воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ОАС, где С — точка касания образа окружности с данной окружностью. Пусть угол между ОА и ОС равен α, тогда:
cos α = (ОА² + ОС² — СА²) / (2 * ОА * ОС)
Подставляя значения, получаем:
cos α = (8² + 4² — 4²) / (2 * 8 * 4) = 0.75
Отсюда находим угол α:
α = arccos 0.75 ≈ 41.4°
Таким образом, чтобы образ окружности с центром О касался данной окружности, необходимо повернуть его на угол 41.4° вокруг точки А.
