Вопрос школьника
Окружность радиусом 4 вписана в равнобедренный треугольник MNK с основанием MK и касается стороны MN в точке С. найдите боковую сторону треугольника, если она в 5 раз больше отрезка CN
Ответ от учителя
Пусть точка O — центр окружности, а точка A — середина стороны MK. Так как треугольник MNK равнобедренный, то точка A также является высотой и медианой. Также из условия задачи следует, что отрезок CN является радиусом окружности.
Пусть BC — боковая сторона треугольника. Тогда, так как треугольник равнобедренный, BM = MC = BC/2. Также из прямоугольного треугольника OCN следует, что ON = 4, а CN = 4/√2 = 2√2.
Так как точка A является серединой стороны MK, то AK = MK/2 = BC/2. Также из прямоугольного треугольника OAK следует, что OA = 4 — AK = 4 — BC/2.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
BC/2 = BM = MC
CN = 2√2
OA = 4 — BC/2
AK = BC/2
Так как отрезок BC в 5 раз больше отрезка CN, то BC = 10√2. Подставляя это значение в систему уравнений, получаем:
BM = MC = BC/2 = 5√2
OA = 4 — BC/2 = -3√2
AK = BC/2 = 5√2
Так как OA отрицательно, то точка A находится на продолжении стороны MK за точку K. Таким образом, боковая сторона треугольника равна MK + AK = BC/2 + BC/2 = BC = 10√2. Ответ: боковая сторона треугольника равна 10√2.
