Вопрос школьника
Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС . В каком отношении точка касания делит катет АС, считая от вершины А?
Ответ от учителя
Пусть точка касания окружности с катетом АС находится в точке D, а середины гипотенузы АВ и катета ВС обозначим соответственно как М и N. Также обозначим длину катета АС как а, а длину катета ВС как b.
Так как окружность проходит через точки М и N, то она является описанной окружностью прямоугольного треугольника АМН. Значит, радиус этой окружности равен половине гипотенузы АВ, то есть равен a/2.
Также, так как окружность касается катета АС, то отрезок AD является высотой треугольника АCD, а точка D лежит на радиусе окружности, проведенном из центра окружности (то есть из точки М) перпендикулярно катету АС. Значит, AD является медианой треугольника АСМ.
Таким образом, точка D делит катет АС на две части, причем отношение длин этих частей равно отношению медианы катета АС (то есть отрезка AD) к половине гипотенузы АВ (то есть радиусу окружности):
AD : DM = a : 2a/2
AD : DM = 2 : 1
Таким образом, точка касания окружности с катетом АС делит этот катет на две части, причем более близкая к вершине А в два раза короче, чем более дальняя от вершины А.
