Вопрос школьника
Окружность, построенная на стороне АВ треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны АС и ВС в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезки АК и ВМ — высоты треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нужно воспользоваться свойствами окружности, а также свойствами перпендикуляров.
Пусть точка О — центр построенной окружности, тогда ОА и ОВ — радиусы этой окружности. Так как ОА и ОВ являются радиусами одной и той же окружности, то они равны между собой: ОА = ОВ.
Также из свойств окружности следует, что угол АМО = 90 градусов, так как АМ является хордой окружности, а ОМ — ее середина. Аналогично, угол ВКО = 90 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник АКО. У него две стороны равны ОА = ОВ, а угол АОК = 90 градусов (так как это угол на окружности, опирающийся на диаметр). Значит, треугольник АКО является прямоугольным и равнобедренным, а отрезок АК является высотой этого треугольника.
Аналогично, рассмотрим треугольник ВМО. У него также две стороны равны ОА = ОВ, а угол ВОМ = 90 градусов. Значит, треугольник ВМО также является прямоугольным и равнобедренным, а отрезок ВМ является высотой этого треугольника.
Таким образом, мы доказали, что отрезки АК и ВМ являются высотами треугольника ABC.
