Вопрос школьника
Дано два кола, радіуси яких дорівнюють 1 см і Зсм, із центром в одній і
тій же точці О. Промінь із початком у точці О перетинає ці кола в точках
А та В. Знайдіть довжину відрізка АВ.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать геометрические знания о пересечении окружностей и прямых.
Из условия задачи известно, что у нас есть две окружности с радиусами 1 см и 3 см, которые имеют общий центр в точке О. Также дано, что через точку О проходит прямая, которая пересекает эти окружности в точках А и В.
Для нахождения длины отрезка АВ необходимо воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого нужно найти длины отрезков ОА и ОВ, а затем применить формулу:
AB = √(OA² + OB²)
Для начала найдем длины отрезков ОА и ОВ. Для этого воспользуемся теоремой о пересечении прямой и окружности, которая гласит, что если прямая пересекает окружность в точках А и В, то произведение отрезков ОА и ОВ равно квадрату расстояния между точками пересечения прямой и окружности.
Таким образом, мы можем записать:
ОА * ОВ = ОС²
где ОС — расстояние между точками пересечения прямой и окружности.
Рассмотрим сначала окружность с радиусом 1 см. Пусть точка пересечения прямой с этой окружностью находится на расстоянии х от точки О. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ОАС получаем:
1² = х² + ОС²
ОС² = 1 — х²
Аналогично для окружности с радиусом 3 см получаем:
3² = (3 — х)² + ОС²
9 = 9 — 6х + х² + ОС²
ОС² = 6х — х²
Теперь мы можем приравнять выражения для ОС² и получить уравнение:
1 — х² = 6х — х²
5х = 1
х = 1/5
Таким образом, мы нашли расстояние между точками пересечения прямой и окружности с радиусом 1 см. Для нахождения расстояния между точками пересечения прямой и окружности с радиусом 3 см нужно подставить найденное значение х в уравнение для ОС²:
ОС² = 6х — х² = 6/5 — 1/25 = 29/25
Теперь мы можем найти длины отрезков ОА и ОВ:
ОА = √(1² — (1/5)²) = √(24/25) = 2√6/5
ОВ = √(3² — (4/5)²) = √(9/25) = 3/5
И, наконец, по формуле для длины отрезка АВ получаем:
AB = √(2√6/5² + 3/5²) = √(24/25 + 9/25) = √33/5
Таким образом, длина отрезка АВ равна √33/5 см.
