Вопрос школьника
Используя три различные цифры, не равные нулю, составьте из них все возможные трехзначные числа и найдите их сумму. При делении этой суммы на сумму трех выбранных цифр получится 222. Почему?
Ответ от учителя
Для составления всех возможных трехзначных чисел из трех различных цифр, не равных нулю, нужно использовать все три цифры в каждой из трех позиций числа. Таким образом, имеем 6 возможных комбинаций цифр: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Здесь A, B и C — различные цифры, не равные нулю.
Сумма всех этих чисел будет равна:
ABC + ACB + BAC + BCA + CAB + CBA = (100A + 10B + C) + (100A + 10C + B) + (100B + 10A + C) + (100B + 10C + A) + (100C + 10A + B) + (100C + 10B + A) = 222(A + B + C)
Таким образом, сумма всех трехзначных чисел, составленных из трех различных цифр, не равных нулю, равна 222 умножить на сумму этих цифр.
Почему это так? Рассмотрим, например, сумму всех трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2 и 3. Она равна:
123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 222(1 + 2 + 3)
Здесь мы можем заметить, что каждая цифра (1, 2 и 3) встречается одинаковое количество раз на каждой позиции (единицы, десятки и сотни). Таким образом, сумма чисел на каждой позиции равна 1+2+3=6, и общая сумма всех чисел равна 222 умножить на 6.
Аналогично, для любых трех различных цифр, не равных нулю, сумма всех трехзначных чисел, составленных из них, будет равна 222 умножить на сумму этих цифр.
