Вопрос школьника
На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DE = 5 см и BD/DA=2/3. Плоскость α проходит через точки B и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС
Ответ от учителя
Поскольку плоскость α параллельна отрезку DE, то она также параллельна плоскости, проходящей через точки A, D и E. Обозначим эту плоскость как β.
Так как BD/DA=2/3, то можно найти отношение CD/DA, используя теорему Менелая для треугольника ABC и прямой DE:
BD/DA * AE/EC * CQ/QB = 1,
где Q – точка пересечения прямой DE с прямой BC, а CQ/QB = 1, так как точка Q делит отрезок BC в отношении 1:1.
Подставляя известные значения, получаем:
2/3 * AE/EC = 1,
откуда AE/EC = 3/2.
Теперь рассмотрим треугольник ADE. Поскольку плоскость β параллельна плоскости ADE, то она пересекает отрезок AE в точке F так, что AF/FE = BD/DA = 2/3. Также из треугольника ADE следует, что EF = 5 — DE = 5 — 5 = 0.
Таким образом, точка F совпадает с точкой A, и отрезок BC параллелен отрезку DE и проходит через точку A. Значит, треугольник ABC – прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:
BC^2 = AB^2 + AC^2.
Но мы не знаем длину отрезка AB. Однако мы можем выразить ее через отношение AE/EC:
AB/AC = AE/EC = 3/2,
откуда AB = 3AC/2.
Подставляя это выражение в формулу для BC^2, получаем:
BC^2 = (3AC/2)^2 + AC^2 = 9AC^2/4 + 4AC^2/4 = 13AC^2/4.
Таким образом, длина отрезка ВС равна:
BC = sqrt(13/4) * AC.
Однако мы не знаем длину отрезка AC. Чтобы ее найти, рассмотрим треугольник ABD. Из условия BD/DA = 2/3 следует, что BD = 2x, а DA = 3x, где x – некоторая константа. Тогда AB = AD — BD = 3x — 2x = x.
Теперь рассмотрим треугольник AEC. Из условия AE/EC = 3/2 следует, что AE = 3y, а EC = 2y, где y – некоторая константа. Тогда AC = AE + EC = 3y + 2y = 5y.
Таким образом, длина отрезка ВС равна:
BC = sqrt(13/4) * AC = sqrt(13/4) * 5y = 5sqrt(13)/2 * y.
Ответ: длина отрезка ВС равна 5sqrt(13)/2 * y, где y – произвольная константа.
