Вопрос школьника
Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне. Докажите, что этот треугольник прямоугольный, а указанная точка – середина гипотенузы.
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, серединные перпендикуляры которого BD и CE пересекаются в точке O на стороне AB. Нам нужно доказать, что треугольник ABC прямоугольный и точка O является серединой гипотенузы.
Для начала заметим, что точка O является центром окружности, проходящей через точки B, C и O. Это следует из того, что BD и CE являются радиусами этой окружности, а радиусы, исходящие из одной точки, равны друг другу.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB, то AO=OC. Также, так как точка O является центром окружности, проходящей через точки B, C и O, то угол BOC равен 2 углу BAC. Но угол BAC равен углу AOC, так как это уголы, соответствующие равным сторонам треугольника. Значит, угол BOC также равен 2 углу AOC.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как угол BOC равен 2 углу AOC, то угол BAC равен 90 градусам, так как угол AOC является половиной угла BOC. Значит, треугольник ABC прямоугольный.
Также, так как точка O является центром окружности, проходящей через точки B, C и O, то BC является диаметром этой окружности. Значит, точка O является серединой гипотенузы.
Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC прямоугольный, а точка O является серединой гипотенузы.
