Вопрос школьника
Из вершины A параллелограмма опущены высоты AM и AN на стороны BC и CD. Найдите отрезки, на которые эти высоты разделяют диагональ BD длиной 28 см, учитывая, что ВМ : МС = 3 : 8 и CN : ND = 3:2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится рисунок параллелограмма:
Обозначим отрезки, на которые высоты AM и AN разделяют диагональ BD, через x и y соответственно:
Заметим, что треугольники ABM и CND подобны треугольникам ABD и CBD соответственно, так как углы при вершине B и D являются соответственными. Из этого следует, что:
BM/BD = AB/AD
и
CN/CD = CB/BD
Заменим AB и CB на их эквиваленты в терминах x и y:
BM/BD = x/28
и
CN/CD = y/28
Также из условия задачи известно, что BM/MC = 3/8 и CN/ND = 3/2. Заменим BM на 3x/11 и MC на 8x/11, а также заменим CN на 3y/5 и ND на 2y/5:
BM/MC = 3/8
3x/11 / (8x/11) = 3/8
24x = 33x
x = 0
Это означает, что отрезок MC имеет нулевую длину, что невозможно. Следовательно, мы допустили ошибку в расчетах. Попробуем другой подход.
Заменим BM на 8x/11 и MC на 3x/11, а также заменим CN на 2y/5 и ND на 3y/5:
CN/ND = 3/2
(3y/5) / (2y/5) = 3/2
3y = 10y/5
y = 0
Опять же, получили нулевое значение для отрезка AN, что невозможно. Значит, мы снова допустили ошибку. Попробуем еще раз.
Заменим BM на 8x/11 и MC на 3x/11, а также заменим CN на 3y/5 и ND на 2y/5:
BM/MC = 3/8
8x/11 / (3x/11) = 8/3
24x = 88x/33
x = 11
CN/ND = 3/2
(3y/5) / (2y/5) = 3/2
3y = 10y/5
y = 5
Таким образом, мы получили, что отрезки AM и AN делят диагональ BD на отрезки длиной 11 см и 17 см соответственно. Ответ: AM делит BD на отрезки 11 см и 17 см, а AN делит BD на отрезки 11 см и 17 см.
