Вопрос школьника
В правильной четырехугольной пирамиде TABCD площадь сечения пирамиды плоскостью TAC равна S. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если все ребра пирамиды равны между собой.
Ответ от учителя
Пусть ребро пирамиды равно a, а высота пирамиды, опущенная на основание TAC, равна h. Тогда площадь сечения пирамиды плоскостью TAC равна S = (1/2) * a * h.
Так как все ребра пирамиды равны между собой, то боковые грани пирамиды являются равнобедренными треугольниками. Пусть M и N — середины ребер TB и CD соответственно. Тогда треугольники TBM и TNC являются прямоугольными треугольниками с катетами a/2 и h, а значит, гипотенуза TM и TN равна sqrt((a/2)^2 + h^2).
Таким образом, боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равнобедренных треугольников с основанием a и боковыми сторонами, равными sqrt((a/2)^2 + h^2). Площадь одного такого треугольника равна S1 = (1/2) * a * sqrt((a/2)^2 + h^2).
Так как всего таких треугольников четыре, то площадь боковой поверхности пирамиды равна Sб = 4 * S1 = 2 * a * sqrt((a/2)^2 + h^2).
Осталось выразить h через S. Из уравнения S = (1/2) * a * h получаем h = 2S/a. Подставляя это выражение в формулу для Sб, получаем:
Sб = 2 * a * sqrt((a/2)^2 + (2S/a)^2) = 2 * a * sqrt(a^2/4 + 4S^2/a^2).
Таким образом, мы нашли формулу для площади боковой поверхности пирамиды в зависимости от длины ее ребра и площади сечения пирамиды.
