Вопрос школьника
Известно, что в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ вершины А, С, середина стороны ВС и точка пересечения высот расположены на одной окружности. Найти косинусы углов треугольника АВС
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения высот треугольника АВС обозначена буквой О, а середина стороны ВС – точкой М. Так как треугольник АВС равнобедренный, то углы А и С равны между собой. Обозначим этот угол через α.
Так как точки А, О и М лежат на одной окружности, то угол АОМ равен 90°. Также угол АМС равен 90°, так как М – середина стороны ВС, а высота, проведенная к стороне ВС, перпендикулярна ей. Значит, треугольник АОМ подобен треугольнику АСМ по двум углам, и угол АМО равен углу МСА.
Таким образом, угол АМО равен α/2, а угол МАО равен 90° – α/2. Так как треугольник АОМ прямоугольный, то косинус угла АМО равен отношению катета АМ к гипотенузе АО:
cos(α/2) = AM / AO
Также из прямоугольного треугольника АМС следует, что косинус угла МСА равен отношению катета МС к гипотенузе АС:
cos(α/2) = MC / AC
Но так как треугольник АВС равнобедренный, то AC = AB, а значит, MC = BC / 2. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
cos(α/2) = BC / 2AB
Таким образом, косинус угла АВС равен:
cosα = 2cos²(α/2) – 1 = 2(BC/2AB)² – 1 = BC² / (2AB)² – 1
Аналогично можно получить косинусы углов АВС и ВАС.
