Вопрос школьника
Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Ответ от учителя
Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, и M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Также пусть AC и BD пересекаются в точке O.
Так как M и N — середины сторон, то MN || AB и MN || CD. Поэтому углы AMN и DNM равны углам ABD и CDB соответственно.
Также, по теореме о трех параллелограммах, AMNO — параллелограмм. Поэтому углы AMN и ONM равны углам AON и OND соответственно.
Таким образом, углы ABD и CDB равны углам AON и OND соответственно. Но эти углы являются смежными углами при пересечении прямых AC и BD. Поэтому AC || BD.
Теперь рассмотрим два случая:
1. Если AC || BD, то ABCD — параллелограмм.
2. Если AC и BD не параллельны, то пусть E и F — точки пересечения AD и BC, и AB и CD соответственно. Тогда по теореме Талеса в треугольниках ABE и CDF:
AM/MB = AN/ND = AE/EB = CF/FD
Также, по условию задачи:
AB + CD = 2MN
AB + CD = 2(AM + MN + ND)
AB + CD = 2(AM + ON + ND)
AB + CD = 2(AO + ON + OD)
AB + CD = 2AC
Поэтому AC = BD = AB + CD/2.
Таким образом, треугольники ABE и CDF равнобедренные, и AE = CF, BE = DF. Поэтому углы AEB и CFD равны.
Также, углы AEB и CFD являются смежными углами при пересечении прямых AC и BD. Поэтому AC || BD.
Таким образом, в обоих случаях получаем, что ABCD — трапеция или параллелограмм.
