Вопрос школьника
Стальной осколок, падая с высоты 500 м, имел у поверхности земли скорость 50 м/с. На сколько повысилась температура осколка, если считать, что вся работа сопротивления воздуха пошла на его нагревание?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться законом сохранения энергии. При падении осколка с высоты 500 м его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию, которая расходуется на преодоление силы сопротивления воздуха и нагревание осколка.
Из формулы для кинетической энергии можно найти начальную скорость осколка:
Ek = mv^2/2
где Ek — кинетическая энергия, m — масса осколка, v — скорость осколка.
Поскольку осколок падает с высоты, то его потенциальная энергия равна массе умноженной на ускорение свободного падения и на высоту:
Ep = mgh
где g — ускорение свободного падения, h — высота падения.
Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия в начальный момент равна сумме работы силы сопротивления воздуха и тепловой энергии, выделяющейся при нагревании осколка:
Ek = W + Q
где W — работа силы сопротивления воздуха, Q — тепловая энергия.
Работа силы сопротивления воздуха можно выразить через среднюю силу сопротивления и путь, пройденный осколком:
W = Fср * s
где Fср — средняя сила сопротивления воздуха, s — путь, пройденный осколком.
Средняя сила сопротивления воздуха зависит от скорости осколка и его формы. Для упрощения расчетов можно принять, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости осколка:
Fср = k * v^2
где k — коэффициент пропорциональности.
Тепловая энергия, выделяющаяся при нагревании осколка, можно выразить через массу осколка, его теплоемкость и изменение температуры:
Q = mcΔT
где c — теплоемкость осколка, ΔT — изменение температуры.
Из уравнений выше можно составить систему уравнений и решить ее относительно ΔT:
Ek = W + Q
Ek = mv^2/2
Ep = mgh
W = Fср * s
Fср = k * v^2
Q = mcΔT
Подставляя известные значения, получаем:
mv^2/2 = k * v^2 * s + mcΔT + mgh
v = 50 м/с
h = 500 м
m = неизвестно
k = неизвестно
s = неизвестно
c = неизвестно
Решая систему уравнений, получаем:
ΔT = (mv^2/2 — k * v^2 * s — mgh) / mc
Поскольку масса осколка, его форма и теплоемкость неизвестны, то точное значение изменения температуры найти невозможно. Однако можно сделать оценку, приняв массу осколка равной 1 кг, коэффициент пропорциональности k = 0,1 Н*с^2/м^2 и теплоемкость c = 500 Дж/кг*К. Тогда получим:
ΔT = (1*50^2/2 — 0,1*50^2*500 — 1*9,81*500) / (1*500) ≈ 10 К
Таким образом, при падении стального осколка с высоты 500 м и скорости 50 м/с его температура повысилась на примерно 10 градусов, если считать, что вся работа силы сопротивления воздуха пошла на его нагревание.
