Вопрос школьника
Найти р и q, если парабола у= х^2 + px + q: 1) пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и х = 3; 2) пересекает ось абсцисс в точке х = 1 и ось ординат в точке y = 3; 3) касается оси абсцисс в точке х = 2.
Ответ от учителя
1) Если парабола пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и х = 3, то это означает, что у(2) = у(3) = 0. Подставляем значения х в уравнение параболы и получаем систему уравнений:
4 + 2р + q = 0
9 + 3р + q = 0
Решаем ее методом подстановки или вычитания. Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
5 + р = 0
Отсюда р = -5. Подставляем значение р в любое из уравнений системы и находим q:
4 + 2*(-5) + q = 0
q = 14
Итак, парабола у = х^2 — 5х + 14.
2) Если парабола пересекает ось абсцисс в точке х = 1 и ось ординат в точке y = 3, то это означает, что у(1) = 0 и у(0) = 3. Подставляем значения х и у в уравнение параболы и получаем систему уравнений:
1 + р + q = 0
q = 3
Из первого уравнения находим р:
р = -1 — q = -4
Итак, парабола у = х^2 — 4х + 3.
3) Если парабола касается оси абсцисс в точке х = 2, то это означает, что у(2) = 0 и у'(2) = 0 (производная уравнения параболы в точке касания равна нулю). Подставляем значения х и у в уравнение параболы и находим q:
4 + 2р + q = 0
q = -2р — 4
Дифференцируем уравнение параболы и подставляем х = 2:
у’ = 2х + р
у'(2) = 4 + р = 0
Отсюда р = -4. Подставляем значение р в уравнение для q:
q = -2*(-4) — 4 = 4
Итак, парабола у = х^2 — 4х + 4.
