Вопрос школьника
В треугольнике ABC известны стороны АВ = √17 ВС= 4, СА = 5. На стороне ВС взята точка D так, что BD = 1. Найдите угол ADB и расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC.
Ответ от учителя
Для нахождения угла ADB воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABD:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 cdot AB cdot AD cdot cos angle ADB$
Подставляем известные значения:
$1 = 17 + AD^2 — 2 cdot sqrt{17} cdot AD cdot cos angle ADB$
$2 cdot sqrt{17} cdot AD cdot cos angle ADB = 16 + AD^2 — 17$
$2 cdot sqrt{17} cdot AD cdot cos angle ADB = AD^2 — 1$
Также заметим, что угол ADC равен 90 градусам, так как стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника ABC.
Для нахождения расстояния между центрами окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC, воспользуемся формулой:
$d = sqrt{(O_1O_2)^2 — R_1^2 — R_2^2}$
где $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $R_1$ и $R_2$ — их радиусы.
Найдем сначала центры окружностей. Центр окружности, описанной около треугольника ADB, лежит на перпендикулярной биссектрисе угла ADB, проходящей через середину стороны AB. Аналогично, центр окружности, описанной около треугольника ADC, лежит на перпендикулярной биссектрисе угла ADC, проходящей через середину стороны AC.
Найдем координаты точек M и N — середин сторон AB и AC соответственно:
$M = (frac{sqrt{17}}{2}, frac{1}{2})$
$N = (frac{5}{2}, frac{1}{2})$
Так как угол ADC прямой, то центр окружности, описанной около треугольника ADC, лежит на середине гипотенузы AC:
$P = (frac{5}{2}, 2)$
Найдем уравнения перпендикулярных биссектрис углов ADB и ADC:
$y — frac{1}{2} = -frac{sqrt{17}}{AD} cdot (x — frac{sqrt{17}}{2})$
$y — 2 = frac{5}{AD} cdot (x — frac{5}{2})$
Подставим координаты точек M и N и найдем уравнения прямых:
$y — frac{1}{2} = -frac{sqrt{17}}{AD} cdot (x — frac{sqrt{17}}{2})$
$y — 2 = frac{5}{AD} cdot (x — frac{5}{2})$
$y = -frac{sqrt{17}}{AD} cdot x + frac{9}{2}$
$y = frac{5}{AD} cdot x — frac{7}{2}$
Решим систему уравнений и найдем координаты точки Q — пересечения биссектрис:
$x = frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD}$
$y = -frac{sqrt{17}}{AD} cdot frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} + frac{9}{2}$
$Q = (frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD}, -frac{sqrt{17}}{AD} cdot frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} + frac{9}{2})$
Теперь можем найти расстояние между центрами окружностей:
$d = sqrt{(O_1O_2)^2 — R_1^2 — R_2^2}$
$O_1O_2 = sqrt{(Q_x — P_x)^2 + (Q_y — P_y)^2} = sqrt{(frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} — frac{5}{2})^2 + (-frac{sqrt{17}}{AD} cdot frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} + frac{9}{2} — 2)^2}$
$R_1 = R_2 = frac{AD}{2}$
$d = sqrt{(O_1O_2)^2 — R_1^2 — R_2^2} = sqrt{(frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} — frac{5}{2})^2 + (-frac{sqrt{17}}{AD} cdot frac{17}{sqrt{17} + 5 cdot AD} + frac{9}{2} — 2)^2 — AD^2}$
Осталось решить уравнение для нахождения значения угла ADB:
$2 cdot sqrt{17} cdot AD cdot cos angle ADB = AD^2 — 1$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = frac{AD^2 — 1}{AD}$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = AD — frac{1}{AD}$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = frac{AD^2 + 2AD cdot frac{1}{AD} + (frac{1}{AD})^2 — 2}{AD}$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = (frac{AD}{AD} + frac{1}{AD})^2 — 2$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = (sqrt{17} + frac{1}{sqrt{17}})^2 — 2$
$2 cdot sqrt{17} cdot cos angle ADB = 4$
$cos angle ADB = frac{2}{sqrt{17}}$
$angle ADB = arccos frac{2}{sqrt{17}} approx 1.06$ радиан или около 60.8 градусов.
