Вопрос школьника
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r. Тогда известно, что высота CP является биссектрисой угла ACP, а значит, отрезок AP делит сторону BC на отрезки, пропорциональные друг другу и соотношению сторон треугольника. Обозначим эти отрезки через x и y, тогда:
BC = x + y
AB = y
AC = x
Также известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12 см. Обозначим через s полупериметр треугольника ACP, тогда:
s = (AC + AP + CP)/2 = (x + y + AP)/2
По формуле для радиуса вписанной окружности:
r = S/((s-a)+(s-b)+(s-c))
где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника.
Площадь треугольника ACP можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:
S = r*s
Также известно, что тангенс угла ABC равен 2,4. Обозначим через α угол BAC, тогда:
tg(α) = BC/AC = (x+y)/x
tg(α) = 2,4
Отсюда можно выразить отношение x/y:
x/y = (1+tg(α))/tg(α) = 1,4
Теперь можно выразить длины сторон треугольника через y:
BC = x + y = 2,4y
AB = y
AC = x = 1,4y
Подставляя все известные значения в формулу для радиуса вписанной окружности треугольника ABC, получаем:
r = S/((s-a)+(s-b)+(s-c)) = r*s/((s-AB)+(s-AC)+(s-BC)) = 12*(x+y+AP)/((3x+3y+2AP)/2) = 24(x+y+AP)/(3x+3y+2AP)
Осталось выразить AP через x и y. По теореме Пифагора в треугольнике ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2
y^2 + (2,4y)^2 = (1,4y)^2
y^2 + 5,76y^2 = 1,96y^2
y^2 = 0,784y^2
y = 0,88x
Таким образом, отношение сторон треугольника ABC равно:
x:y = 1:0,88
Подставляя это значение в выражение для радиуса вписанной окружности треугольника ABC, получаем:
r = 24(x+y+AP)/(3x+3y+2AP) = 24(2,88x+AP)/(5,28x+2AP)
Осталось выразить AP через r. Рассмотрим треугольник ACP. По формуле для радиуса вписанной окружности:
r = S/((s-a)+(s-b)+(s-c)) = S/(s-AP)
где S — площадь треугольника ACP, s — полупериметр.
Площадь треугольника ACP можно выразить через высоту CP:
S = CP*AP/2
Высота CP можно выразить через стороны треугольника ACP:
CP = 2*S/AC = 2*S/x
Подставляя все известные значения, получаем:
r = S/(s-AP) = (CP*AP/2)/(s-AP) = (AP*CP)/(2s-2AP) = (AP*2S/x)/(2s-2AP) = AP*S/(x*(s-AP))
r*x*(s-AP) = AP*S
AP = r*x*s/(r*x+s)
Подставляя это значение в выражение для радиуса вписанной окружности треугольника ABC, получаем:
r = 24(2,88x+AP)/(5,28x+2AP) = 24(2,88x+r*x*s/(r*x+s))/(5,28x+2r*x*s/(r*x+s))
Упрощая выражение, получаем:
r^2 = 144*(2,88x+s)/(5,28x+2s)
Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен:
r = sqrt(144*(2,88x+s)/(5,28x+2s))
