Вопрос школьника
Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементомθ = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в ζ = 10 раз. Какое время τ прошло при этом с момента начала колебаний?
Ответ от учителя
Математический маятник описывается уравнением:
θ»(t) + 2ζω0θ'(t) + ω0^2θ(t) = 0,
где θ(t) — угол отклонения маятника от вертикали в момент времени t, ω0 — собственная частота колебаний маятника, ζ — логарифмический декремент, определяющий затухание колебаний.
Собственная частота колебаний маятника определяется формулой:
ω0 = √(g/l),
где g — ускорение свободного падения, l — длина маятника.
Из условия задачи известно, что логарифмический декремент ζ = 0,01, то есть затухание колебаний происходит в 10 раз за каждый период колебаний. Это означает, что за время τ прошедшее с момента начала колебаний, число периодов колебаний N можно вычислить по формуле:
N = ln(ζ)/ln(e) ≈ 4,605,
где e — число Эйлера.
Таким образом, за время τ прошло 4,605 периодов колебаний. Длительность одного периода колебаний T можно вычислить по формуле:
T = 2π/ω0 ≈ 2,01 секунды.
Тогда время τ можно выразить через число периодов колебаний N и длительность одного периода колебаний T:
τ = N*T ≈ 9,25 секунды.
Ответ: время τ, прошедшее с момента начала колебаний, составляет примерно 9,25 секунды.
