Вопрос школьника
Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов времени: a) t=T/12;
б) t=T/8;
в) t=T/6. Начальная фаза колебаний φ0=0.
Ответ от учителя
Для точки, совершающей гармоническое колебание, кинетическая энергия и потенциальная энергия связаны следующим образом:
Wк = (1/2)mv^2
Wп = (1/2)kx^2
где m — масса точки, v — скорость точки, k — коэффициент упругости пружины, x — смещение точки от положения равновесия.
Для гармонического колебания с периодом T и начальной фазой φ0=0, уравнение движения имеет вид:
x = A*cos(ωt)
где A — амплитуда колебаний, ω — угловая частота колебаний, определяемая как ω = 2π/T.
Скорость точки можно найти, взяв производную от уравнения движения по времени:
v = -A*ω*sin(ωt)
Теперь можно выразить кинетическую и потенциальную энергии через x и v:
Wк = (1/2)m*A^2*ω^2*sin^2(ωt)
Wп = (1/2)k*A^2*cos^2(ωt)
а) Для момента времени t=T/12:
ωt = (2π/12) = π/6
sin^2(ωt) = sin^2(π/6) = 1/4
cos^2(ωt) = cos^2(π/6) = 3/4
Тогда отношение кинетической энергии к потенциальной энергии будет:
Wк/Wп = (m*ω^2/2k)*(1/4)/(3/4) = (m*ω^2/6k)
б) Для момента времени t=T/8:
ωt = (2π/8) = π/4
sin^2(ωt) = sin^2(π/4) = 1/2
cos^2(ωt) = cos^2(π/4) = 1/2
Тогда отношение кинетической энергии к потенциальной энергии будет:
Wк/Wп = (m*ω^2/2k)*(1/2)/(1/2) = (m*ω^2/k)
в) Для момента времени t=T/6:
ωt = (2π/6) = π/3
sin^2(ωt) = sin^2(π/3) = 3/4
cos^2(ωt) = cos^2(π/3) = 1/4
Тогда отношение кинетической энергии к потенциальной энергии будет:
Wк/Wп = (m*ω^2/2k)*(3/4)/(1/4) = 3*(m*ω^2/2k)
Таким образом, отношение кинетической энергии к потенциальной энергии зависит от момента времени и определяется выражением:
Wк/Wп = (m*ω^2/2k)*sin^2(ωt)/cos^2(ωt)
где ω = 2π/T — угловая частота колебаний, t — момент времени, sin^2(ωt) и cos^2(ωt) — значения синуса и косинуса угла ωt.
