Вопрос школьника
В выпуклом пятиугольнике ABCDF вершина А лежит на серединном перпендикуляре к стороне CD, угол СВА = угол DFA = 90°, ВС = DF = 2 см. Вычислите периметр треугольника CDA, если угол BAF = 120° и угол BCA = 60°.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник BAF. Угол BAF = 120°, значит, угол BAC = 60° (так как угол BAC + угол BAF = 180°). Также из условия известно, что угол СВА = угол DFA = 90°, а значит, точки С, В, А и D лежат на одной окружности с диаметром AD. Таким образом, угол BCD = угол BAD = 60°.
Теперь рассмотрим треугольник CDA. Из условия известно, что сторона CD является диаметром окружности, на которой лежат точки С, В, А и D. Значит, угол CDA = 90°. Также известно, что угол BCA = 60°, а значит, угол ACD = 30°.
Теперь можем применить теорему косинусов в треугольнике CDA:
AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2*AD*CD*cos(CDA)
Так как угол CDA = 90°, то cos(CDA) = 0, и уравнение упрощается:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Также из условия известно, что ВС = DF = 2 см. Значит, сторона AD равна 4 см. Также из треугольника BCD следует, что сторона BC равна 2 см.
Теперь можем вычислить сторону AC:
AC^2 = AD^2 + CD^2
AC^2 = 4^2 + (2/2)^2
AC^2 = 16 + 1
AC = sqrt(17) см
Теперь можем вычислить периметр треугольника CDA:
Периметр CDA = CD + AC + AD
Периметр CDA = 2 + sqrt(17) + 4
Периметр CDA = sqrt(17) + 6 см
Ответ: периметр треугольника CDA равен sqrt(17) + 6 см.
