Вопрос школьника
В вакууме ядро испускает два электрона в противоположных направлениях со скоростями 0,8 с, где с — скорость света в вакууме. В системе отсчета, связанной с ядром, расстояние между ними увеличивается по закону
Ответ от учителя
Для ответа на данный вопрос необходимо использовать принцип относительности Галилея-Лоренца и формулы преобразования скоростей в различных системах отсчета.
Из условия задачи следует, что ядро испускает два электрона в противоположных направлениях со скоростями 0,8 с. При этом, в системе отсчета, связанной с ядром, расстояние между электронами увеличивается по закону.
Для решения задачи необходимо найти скорости электронов в системе отсчета, связанной с ядром, и выразить расстояние между ними через время.
Согласно принципу относительности Галилея-Лоренца, скорости в различных системах отсчета связаны между собой следующим образом:
v’ = (v — u) / (1 — uv/c^2),
где v’ — скорость в системе отсчета, связанной с ядром, v — скорость в неподвижной системе отсчета, u — скорость системы отсчета, связанной с ядром, относительно неподвижной системы отсчета, c — скорость света в вакууме.
Таким образом, скорости электронов в системе отсчета, связанной с ядром, будут равны:
v1′ = (0,8с — u) / (1 — 0,8сu/c^2),
v2′ = (-0,8с — u) / (1 + 0,8сu/c^2).
Для нахождения расстояния между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, необходимо выразить время через расстояние и использовать закон изменения расстояния между электронами:
r = r0 + v0t + at^2/2,
где r0 — начальное расстояние между электронами, v0 — начальная скорость, a — ускорение.
Из условия задачи следует, что расстояние между электронами увеличивается по закону, то есть a = 0.
Таким образом, формула для расстояния между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, будет иметь вид:
r’ = r0′ + v0’t’,
где r0′ — начальное расстояние между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, v0′ — начальная скорость в этой системе отсчета, t’ — время в этой системе отсчета.
Начальное расстояние между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, равно нулю, так как они испускаются из одной точки.
Начальная скорость в системе отсчета, связанной с ядром, равна разности скоростей электронов в неподвижной системе отсчета:
v0′ = v1′ — v2′ = 1,6с / (1 — 0,64u^2/c^2).
Таким образом, расстояние между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, будет равно:
r’ = v0’t’ = (1,6с / (1 — 0,64u^2/c^2))t’.
Из закона изменения расстояния между электронами в неподвижной системе отсчета следует, что:
r = r0 + v0t + at^2/2 = 0 + 0,8сt — 0,4с^2t^2.
Таким образом, время, через которое расстояние между электронами достигнет максимального значения, можно найти из уравнения:
-0,4с^2t^2 + 0,8сt = 0,
откуда получаем:
t = 2с/5.
Таким образом, расстояние между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, будет равно:
r’ = (1,6с / (1 — 0,64u^2/c^2))t’ = (1,28с / (1 — 0,64u^2/c^2))t’.
Из условия задачи следует, что расстояние между электронами увеличивается по закону, поэтому можно предположить, что в системе отсчета, связанной с ядром, расстояние между электронами также увеличивается по закону. Таким образом, можно записать:
r’ = k(t’),
где k — коэффициент пропорциональности.
Из выражения для r’ получаем:
k = 1,28с / (1 — 0,64u^2/c^2).
Таким образом, ответ на вопрос состоит из трех частей:
1. Скорости электронов в системе отсчета, связанной с ядром, равны:
v1′ = (0,8с — u) / (1 — 0,8сu/c^2),
v2′ = (-0,8с — u) / (1 + 0,8сu/c^2).
2. Время, через которое расстояние между электронами достигнет максимального значения, равно:
t = 2с/5.
3. Расстояние между электронами в системе отсчета, связанной с ядром, увеличивается по закону и равно:
r’ = k(t’),
где k = 1,28с / (1 — 0,64u^2/c^2).
