Вопрос школьника
В треугольники ABC и CDA (точки В и D расположены по одну сторону от СD вписаны окружности. Найдите длину общей внешней касательной к этим окружностям, если:
a)AB=5, ВС=7, CD= DA, б) АВ = 7,ВС= CD, DA = 9.
Ответ от учителя
a) Пусть точки касания внешних касательных с окружностями, вписанными в треугольники ABC и CDA, обозначены как E и F соответственно. Тогда, так как BE и DF являются высотами треугольников ABC и CDA, то мы можем записать следующие соотношения:
$$
begin{cases}
BE = frac{2S_{ABC}}{AB} = frac{2sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}}{AB} \
DF = frac{2S_{CDA}}{CD} = frac{2sqrt{s(s-CD)(s-DA)(s-CA)}}{CD}
end{cases}
$$
где $s$ — полупериметр треугольника.
Также заметим, что треугольники ABC и CDA подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BAC равен углу DAC, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD). Поэтому мы можем записать следующее соотношение:
$$
frac{AB}{CD} = frac{BC}{DA}
$$
Так как CD = DA, то получаем, что AB = BC.
Теперь мы можем выразить BE и DF через AB и CD:
$$
begin{cases}
BE = frac{2sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}}{AB} = frac{2sqrt{s(s-AB)^2(s-CA)}}{AB} \
DF = frac{2sqrt{s(s-CD)(s-DA)(s-CA)}}{CD} = frac{2sqrt{s(s-AB)^2(s-CA)}}{AB}
end{cases}
$$
Таким образом, BE = DF, то есть внешние касательные к окружностям, вписанным в треугольники ABC и CDA, равны. Длина общей внешней касательной равна BE = DF.
b) Пусть точки касания внешних касательных с окружностями, вписанными в треугольники ABC и CDA, обозначены как E и F соответственно. Тогда, так как BE и DF являются высотами треугольников ABC и CDA, то мы можем записать следующие соотношения:
$$
begin{cases}
BE = frac{2S_{ABC}}{AB} = frac{2sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}}{AB} \
DF = frac{2S_{CDA}}{CD} = frac{2sqrt{s(s-CD)(s-DA)(s-CA)}}{CD}
end{cases}
$$
где $s$ — полупериметр треугольника.
Также заметим, что треугольники ABC и CDA подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BAC равен углу DAC, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD). Поэтому мы можем записать следующее соотношение:
$$
frac{AB}{CD} = frac{BC}{DA}
$$
Так как DA = 9, то мы можем выразить CD через AB и BC:
$$
CD = frac{BCcdot DA}{AB} = frac{BCcdot 9}{7}
$$
Теперь мы можем выразить DF через AB и BC:
$$
DF = frac{2sqrt{s(s-CD)(s-DA)(s-CA)}}{CD} = frac{2sqrt{s(s-frac{BCcdot 9}{7})(s-9)(s-BC)}}{frac{BCcdot 9}{7}}
$$
Аналогично, мы можем выразить BE через AB и BC:
$$
BE = frac{2sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}}{AB} = frac{2sqrt{s(s-AB)(s-frac{BCcdot 7}{9})(s-BC)}}{AB}
$$
Таким образом, чтобы найти длину общей внешней касательной, нам нужно найти значение выражения $sqrt{BE^2 — frac{BC^2}{4}}$, так как треугольник BCF является прямоугольным (угол BCF равен 90 градусов, так как BC и CD параллельны, а угол BCD равен 90 градусов, так как CD является диаметром окружности, вписанной в треугольник CDA). Подставляя значения BE и BC, получаем:
$$
sqrt{BE^2 — frac{BC^2}{4}} = sqrt{left(frac{4sqrt{s(s-AB)(s-frac{BCcdot 7}{9})(s-BC)}}{AB}right)^2 — frac{BC^2}{4}} = sqrt{frac{16s(s-AB)(s-frac{BCcdot 7}{9})(s-BC)}{AB^2} — frac{BC^2}{4}}
$$
Теперь мы можем решить систему уравнений:
$$
begin{cases}
AB^2 + BC^2 = 7^2 \
ABcdot BC = CDcdot DA = 9cdot 7
end{cases}
$$
Решая эту систему, получаем, что AB = 3, BC = 4, CD = 21/4. Подставляя эти значения в выражение для длины общей внешней касательной, получаем:
$$
sqrt{frac{16s(s-3)(s-frac{4cdot 7}{9})(s-4)}{3^2} — frac{4^2}{4}} = sqrt{frac{16s(s-3)(s-frac{28}{9})(s-4)}{9} — 4}
$$
где $s$ — полупериметр треугольника ABC.
