Вопрос школьника
ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине D, а точка F лежит на основании AD так, что отрезки АВ и CF параллельны. Вычислите площадь четырёхугольника ABCF, если ВС = 5 см, CD = 4 см (рис. 77, б).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту трапеции и длину основания AF, а затем вычислить площадь четырехугольника ABCF по формуле S = (a+b)h/2, где a и b — длины параллельных сторон, а h — высота.
Из условия задачи мы знаем, что AB || CF, поэтому угол AFB также прямой. Также из прямоугольности трапеции мы знаем, что угол BCD также прямой. Обозначим точку пересечения BF и CD как E.
Так как AB || CF, то треугольники AFB и CFE подобны. Поэтому отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
AB/CF = AF/CE
AB = BC + CD = 5 + 4 = 9 см
CF = AD = AB + BD = 9 + 3 = 12 см
CE = CD = 4 см
Подставляем известные значения и находим длину основания AF:
9/12 = AF/4
AF = 3 см
Теперь найдем высоту трапеции. Обозначим точку пересечения BF и AE как G. Так как AB || CF, то треугольники AFB и CFE подобны. Поэтому отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
AB/CF = AG/GE
AB = 9 см
CF = 12 см
AG = AF + FG = 3 + x
GE = CD = 4 см
Подставляем известные значения и находим высоту трапеции:
9/12 = (3+x)/4
x = 1 см
AG = 4 см
Теперь мы знаем длины всех сторон четырехугольника ABCF:
AB = 9 см
BC = 5 см
CF = 12 см
AF = 3 см
Высота трапеции AG = 4 см
Подставляем значения в формулу для площади четырехугольника ABCF:
S = (9+5) * 4 / 2 = 28 см²
Ответ: площадь четырехугольника ABCF равна 28 см².
