Вопрос школьника
Найдите углы ромба и углы, которые сторона ромба образует с диагоналями, учитывая, что:
а) одна из диагоналей равна стороне ромба;
б) высоты, проведенные из одной его вершины, образуют угол в 40°.
Ответ от учителя
а) Пусть сторона ромба равна a, а диагональ равна d. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то каждая диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника. Значит, угол между стороной ромба и диагональю равен половине угла между диагоналями, то есть 45 градусов. Так как углы ромба равны, то каждый угол ромба равен 180 — 2*45 = 90 градусов.
б) Пусть ABCD — ромб, высоты из вершины A образуют угол в 40 градусов, и пусть E и F — точки пересечения высот с противоположными сторонами ромба. Так как высоты ромба являются биссектрисами углов, то угол BAF равен 20 градусов. Также угол BAE равен 90 градусов, так как высота из вершины A перпендикулярна стороне BC. Значит, угол BAF + угол BAE = 20 + 90 = 110 градусов. Но угол BAF + угол CAF = 90 градусов, так как это угол между стороной ромба и диагональю, которая делит ромб на два равнобедренных треугольника. Значит, угол CAF равен 90 — 20 = 70 градусов. Аналогично, угол DAF равен 70 градусов. Так как углы ромба равны, то каждый угол ромба равен 180 — 2*70 = 40 градусов.
