Вопрос школьника
Найдите координаты точки пересечения прямых 2х + у = 2 и х- у = 4 и определите, проходит ли через эту точку прямая х + 2у = 6. б) Определите, проходят ли прямые 2х-3у=1, х + у = 3 и Зх — у = 5 через одну точку.
Ответ от учителя
а) Для нахождения координат точки пересечения прямых необходимо решить систему уравнений:
2х + у = 2
х — у = 4
Решим эту систему методом сложения:
2х + у = 2
х — у = 4
3х = 6
х = 2
Подставим найденное значение х в одно из уравнений и найдем у:
2*2 + у = 2
у = -2
Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны (2, -2).
Чтобы определить, проходит ли через эту точку прямая х + 2у = 6, подставим координаты точки в уравнение прямой:
2 + 2*(-2) = 2 — 4 = -2
-2 не равно 6, следовательно, прямая х + 2у = 6 не проходит через точку пересечения прямых.
б) Для определения, проходят ли прямые 2х-3у=1, х + у = 3 и Зх — у = 5 через одну точку, необходимо решить систему уравнений:
2х-3у=1
х + у = 3
Зх — у = 5
Решим эту систему методом Крамера:
|2 -3 1| |1 3| |1 -3|
|1 1 0| * |x y| = |3 1|
|3 -1 0| |z t| |5 -1|
Вычислим определители матрицы системы и матрицы свободных членов:
D = |2 -3 1| = 2*1*(-1) + (-3)*0*3 + 1*1*(-1) = -3
Dx = |1 -3 1| = 1*1*(-1) + (-3)*0*1 + 1*3*1 = 2
Dy = |2 1 1| = 2*1*1 + 1*0*2 + 1*(-3)*1 = -5
Dz = |3 1 5| = 3*1*0 + 1*0*5 + 5*(-1)*1 = -8
Вычислим неизвестные:
x = Dx/D = 2/(-3) = -2/3
y = Dy/D = -5/(-3) = 5/3
z = Dz/D = -8/(-3) = 8/3
Таким образом, прямые 2х-3у=1, х + у = 3 и Зх — у = 5 проходят через одну точку с координатами (-2/3, 5/3, 8/3).
