Вопрос школьника
Постройте треугольник наибольшей площади, две стороны которого равны сторонам АВ и АС треугольника ABC. Каким должен быть угол между этими сторонами, чтобы площадь треугольника была наибольшей? Ответ обоснуйте.
Ответ от учителя
Для построения треугольника наибольшей площади, две стороны которого равны сторонам АВ и АС треугольника ABC, необходимо провести высоту из вершины А на сторону ВС. Обозначим точку пересечения высоты с стороной ВС как D.
Так как стороны АВ и АС равны, то точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от точки А. Следовательно, высота АD является медианой треугольника ABC и делит сторону ВС пополам.
Таким образом, треугольник ABD и треугольник ACD являются равнобедренными, а угол между сторонами АВ и АС равен 90 градусов.
Для нахождения площади треугольника ABC можно воспользоваться формулой Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон.
Для треугольника ABD и треугольника ACD длины сторон равны AB, AD и BD, AC, AD и CD соответственно. Так как стороны AB и AC равны, то и стороны BD и CD равны.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и ACD:
S(ABC) = S(ABD) + S(ACD) = 2S(ABD)
Так как треугольник ABD является равнобедренным, то высота из вершины A на сторону BD является медианой и биссектрисой. Следовательно, угол между сторонами AB и BD равен 45 градусов.
Таким образом, для нахождения треугольника наибольшей площади, две стороны которого равны сторонам АВ и АС треугольника ABC, угол между этими сторонами должен быть равен 90 градусов.
