Вопрос школьника
Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке М. Найдите MB, если MA = a, MD = b.
Ответ от учителя
Пусть радиусы окружностей равны $r$ и $R$, где $R>r$. Так как окружности касаются друг друга внутренним образом, то расстояние между их центрами равно $R-r$. Пусть точка $O$ — центр большей окружности, а точка $O’$ — центр меньшей окружности. Тогда $AO=R$, $AO’=r$, $OO’=R-r$.
Пусть $E$ — точка касания хорды $BC$ с меньшей окружностью. Так как $BC$ касается меньшей окружности в точке $D$, то $DE$ является высотой треугольника $BDC$. Также заметим, что $AE$ является биссектрисой угла $BAD$, так как $AE$ проходит через точку касания окружностей $A$. Тогда по теореме о биссектрисе:
$$frac{BD}{AD}=frac{BC}{AC}$$
Так как $BC$ касается меньшей окружности в точке $D$, то $BD=DE$. Также заметим, что $AC=2R$, так как $AC$ является диаметром большей окружности. Тогда:
$$frac{DE}{AD}=frac{BC}{2R}$$
$$frac{DE}{AD}=frac{r}{2R}$$
$$DE=frac{ar}{2R}$$
Также заметим, что $AE$ является медианой треугольника $ABD$, так как $AE$ проходит через точку касания окружностей $A$. Тогда по теореме о медиане:
$$frac{BD}{AD}=frac{BE}{AE}$$
$$frac{BD}{AD}=frac{BE}{a}$$
$$BE=frac{aBD}{AD}$$
Так как $BD=DE$, то:
$$BE=frac{aDE}{AD}=frac{ar}{2R}cdotfrac{1}{a}=frac{r}{2R}$$
Таким образом, мы нашли отношение $BE/AE=r/2R$. Заметим, что треугольник $AME$ подобен треугольнику $AO’B$, так как углы $AME$ и $AO’B$ соответственные. Тогда:
$$frac{MB}{O’B}=frac{MA}{O’A}$$
$$frac{MB}{R-r}=frac{a}{r}$$
$$MB=frac{a(R-r)}{r}$$
Также по условию задачи $MD=b$, поэтому $BD=MD-MB=b-frac{a(R-r)}{r}$. Так как $BD=DE$, то:
$$DE=b-frac{a(R-r)}{r}$$
$$frac{ar}{2R}=b-frac{a(R-r)}{r}$$
$$frac{r^2}{2R}+bR=aR$$
$$frac{r^2}{2R}=aR-bR$$
$$frac{r^2}{2(R-r)}=a$$
$$r^2=2a(R-r)$$
Теперь мы можем выразить $R$ через $a$ и $b$:
$$R=frac{r^2}{2a}+r$$
Тогда:
$$MB=frac{a(R-r)}{r}=frac{a}{r}left(frac{r^2}{2a}right)=frac{r}{2}$$
Ответ: $MB=frac{r}{2}$.
