Вопрос школьника
Какое наименьшее число получим, если, разделив его на 2, получим в
остатке 1, разделив на 3 — в остатке 2, разделив на 4 — в остатке 3, разделив
на 5 — в остатке 4, разделив на 6 — в остатке 5 и оно делится на 7?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно использовать метод китайской теоремы об остатках.
Сначала найдем число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остатки 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Для этого можно последовательно перебирать числа, начиная с 1, и проверять их остатки при делении на каждое из чисел. Найдем такое число:
— При делении на 2 остаток должен быть 1, значит, число должно быть нечетным. Первое нечетное число — 1.
— При делении на 3 остаток должен быть 2. Проверим 1, 3, 5, 7, 9… Остатки при делении на 3 будут соответственно 1, 0, 2, 1, 0… Первое число, дающее остаток 2 при делении на 3 — 5.
— При делении на 4 остаток должен быть 3. Проверим 5, 9, 13, 17… Остатки при делении на 4 будут соответственно 1, 1, 1, 1… Первое число, дающее остаток 3 при делении на 4 — 11.
— При делении на 5 остаток должен быть 4. Проверим 11, 16, 21, 26… Остатки при делении на 5 будут соответственно 1, 1, 1, 1… Первое число, дающее остаток 4 при делении на 5 — 24.
— При делении на 6 остаток должен быть 5. Проверим 24, 30, 36, 42… Остатки при делении на 6 будут соответственно 0, 0, 0, 0… Первое число, дающее остаток 5 при делении на 6 — 29.
Таким образом, искомое число равно 29 * 5 = 145.
Осталось проверить, делится ли это число на 7. Для этого можно заметить, что при делении на 7 остатки будут повторяться с периодом 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6…). Таким образом, чтобы число делилось на 7, оно должно давать остаток 0 при делении на 7. Проверим:
145 = 20 * 7 + 5
Остаток при делении на 7 равен 5, значит, искомое число не подходит.
Чтобы найти наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям, нужно прибавлять к найденному числу 60 (произведение чисел 2, 3, 4, 5 и 6) до тех пор, пока не получится число, делящееся на 7.
145 + 60 = 205
205 = 29 * 7 + 2
205 + 60 = 265
265 = 37 * 7
Таким образом, наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям, равно 265.
