Вопрос школьника
По гладкому столу движется, вращаясь вокруг соей оси, волчок, имеющий в проекции форму конуса высотой Н и радиусом R. При какой минимальной скорости поступательного движения v волчок не ударится о край стола при соскоке?
Ответ от учителя
Для того чтобы волчок не ударился о край стола при соскоке, необходимо, чтобы его центр масс двигался по окружности, центр которой находится на расстоянии R от края стола. Таким образом, радиус этой окружности будет равен R, а скорость поступательного движения волчка должна быть равна скорости точки на окружности, которая равна v = Rω, где ω — угловая скорость вращения волчка.
Для того чтобы найти минимальную скорость поступательного движения v, необходимо рассмотреть момент соскока волчка с края стола. В этот момент волчок находится на высоте H над столом и имеет горизонтальную скорость v. Таким образом, время полета волчка до соскока можно найти из уравнения H = (1/2)gt^2, где g — ускорение свободного падения, а t — время полета.
После соскока волчок начинает движение по параболе, которую можно описать уравнением y = H — (1/2)gt^2, где y — высота волчка над столом в любой момент времени t. Для того чтобы волчок не ударился о край стола, необходимо, чтобы его высота над столом была не меньше нуля в любой момент времени. Таким образом, уравнение для определения минимальной скорости поступательного движения v имеет вид:
H — (1/2)gt^2 ≥ 0
(1/2)gt^2 ≤ H
t^2 ≤ 2H/g
t ≤ √(2H/g)
Таким образом, минимальная скорость поступательного движения v будет равна скорости точки на окружности, если время полета волчка до соскока будет не больше √(2H/g):
v = Rω = R(2π/T) ≤ R(2π/√(2H/g))
где T — период вращения волчка.
Ответ: минимальная скорость поступательного движения v должна быть не меньше R(2π/√(2H/g)), где H — высота волчка над столом, R — радиус проекции волчка на стол, g — ускорение свободного падения.
