Вопрос школьника
Длина биссектрисы AD треугольника ABC равна m. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит соответственно стороны АВ и АС в отношении 2:1 и 1:1, считая от вершины А. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы AD с окружностью, построенной на ней как на диаметре, обозначена как E. Тогда, так как AE является диаметром окружности, то угол BAC является прямым углом, а значит, треугольник ABC является прямоугольным.
Также, так как точка E лежит на биссектрисе AD, то она делит угол BAC на два равных угла. Поэтому угол BAE равен углу CAE, а значит, отрезки AB и AC делятся точкой E в отношении 2:1 и 1:1 соответственно.
Обозначим длину отрезка AB как 2x, а длину отрезка AC как x. Тогда длина отрезка AE равна 3x, а длина отрезка DE равна m/2.
Так как треугольник ADE является прямоугольным, то по теореме Пифагора:
$AD^2 = AE^2 + DE^2$
$m^2 = (3x)^2 + (frac{m}{2})^2$
$9x^2 + frac{m^2}{4} = m^2$
$9x^2 = frac{3}{4}m^2$
$x^2 = frac{1}{3}(frac{m}{2})^2$
Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника ABC:
$AB = 2x = sqrt{frac{4}{3}}cdotfrac{m}{2}$
$AC = x = sqrt{frac{1}{3}}cdotfrac{m}{2}$
$BC = sqrt{AB^2 + AC^2} = sqrt{frac{7}{3}}cdotfrac{m}{2}$
И, наконец, площадь треугольника ABC равна:
$S_{ABC} = frac{1}{2}ABcdot AC = frac{1}{2}cdotsqrt{frac{4}{3}}cdotfrac{m}{2}cdotsqrt{frac{1}{3}}cdotfrac{m}{2} = frac{m^2}{6}$
Таким образом, мы нашли площадь треугольника ABC через длину биссектрисы AD и отношение, в котором она делит стороны AB и AC.
