Вопрос школьника
Математический маятник массой m и длиной l колеблется гармонически без сопротивления. Какую работу совершает возвращающая сила за время τ, считая от момента выхода из равновесного положения, если амплитуда колебаний равна ΔR?
Ответ от учителя
Математический маятник представляет собой систему, которая колеблется вокруг равновесного положения под действием силы тяжести и возвращающей силы, которая возникает из-за деформации нити, на которой подвешен маятник. В данном случае мы рассматриваем гармонические колебания без сопротивления, то есть без трения и других потерь энергии.
Возвращающая сила в математическом маятнике определяется законом Гука, который гласит, что сила, возникающая при деформации пружины, пропорциональна величине этой деформации. В нашем случае, возвращающая сила пропорциональна углу отклонения маятника от равновесного положения, то есть силу можно записать как F = -kθ, где k — коэффициент жесткости нити, а θ — угол отклонения маятника.
Для гармонических колебаний возвращающая сила также является гармонической функцией времени, то есть F = -kΔRsin(ωt), где ΔR — амплитуда колебаний, ω — угловая частота колебаний.
Чтобы определить работу, совершаемую возвращающей силой за время τ, необходимо вычислить интеграл от произведения силы и перемещения маятника. В данном случае, перемещение маятника можно выразить через угол отклонения и длину нити: Δx = l(1-cosθ). Тогда работа, совершаемая возвращающей силой за время τ, будет равна:
W = ∫FΔxdt = ∫-kΔRsin(ωt)l(1-cosθ)dt
Для гармонических колебаний угол отклонения также является гармонической функцией времени, то есть θ = ΔRsin(ωt). Подставляя это выражение в формулу для работы, получаем:
W = ∫-kΔRsin(ωt)l(1-cos(ΔRsin(ωt)))dt
Этот интеграл не имеет аналитического решения, поэтому его можно вычислить только численно. Однако, можно заметить, что работа, совершаемая возвращающей силой, будет равна нулю за полный период колебаний, так как при полном обороте маятника угол отклонения и перемещение будут равны нулю. Таким образом, работа, совершаемая возвращающей силой за время τ, будет зависеть от того, на какой фазе колебаний находится маятник в момент времени τ. Если маятник находится в крайней точке колебаний, то работа будет максимальной и равна Wmax = 2kΔRlτ/π. Если же маятник находится в центре колебаний, то работа будет равна нулю.
