Вопрос школьника
Докажите, что а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник; 6) из всех треугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Ответ от учителя
а) Для начала рассмотрим формулу для площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C), где a, b — стороны треугольника, C — угол между ними. Также известно, что периметр треугольника равен сумме его сторон: P = a + b + c.
Для нахождения наибольшей площади треугольника с данным периметром, нужно максимизировать выражение S = 1/2 * a * b * sin(C) при условии, что a + b + c = P.
Для этого воспользуемся неравенством о средних: (a + b)/2 >= sqrt(ab), откуда получаем a * b <= (a + b)^2 / 4. Также из условия задачи известно, что a + b + c = P, откуда следует, что c = P - a - b. Подставим эти выражения в формулу для площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C) = 1/2 * a * b * sin(180 - A - B) = 1/2 * a * b * sin(A + B). Заметим, что sin(A + B) достигает максимума при A = B, то есть когда треугольник равнобедренный. Также из неравенства о средних следует, что a = b, когда достигается максимум площади. Таким образом, равнобедренный треугольник имеет наибольшую площадь среди всех треугольников с данной стороной и данным периметром. б) Для равностороннего треугольника все стороны равны между собой, то есть a = b = c = P/3. Подставим это выражение в формулу для площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C) = 1/2 * (P/3)^2 * sin(60) = P^2 * sqrt(3) / 36. Таким образом, площадь равностороннего треугольника с данным периметром максимальна.
