Вопрос школьника
На плоскости проведены две прямые, пересекающиеся в точке О, М — точка на окружности с центром в О. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые, постоянно для всех точек окружности.
Ответ от учителя
Пусть А и В — основания перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые. Тогда, так как М лежит на окружности с центром в О, то ОМ — радиус этой окружности и поэтому ОМ = ОА = ОВ.
Треугольник ОМА прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
МА² = ОМ² — ОА²
Треугольник ОМВ также прямоугольный, поэтому:
МВ² = ОМ² — ОВ²
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
МВ² — МА² = ОВ² — ОА²
Так как ОВ = ОА, то ОВ² — ОА² = 0, и мы получаем:
МВ² — МА² = 0
Отсюда следует, что МВ = МА, то есть расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из М на данные прямые, постоянно для всех точек окружности.
