Вопрос школьника
Побудуйте чотирикутник АВСВ за координатами його
вершин: А (-2 ; 0), В (0; 2), С (1; 0), В (0; 3). Знайдіть синус,
косинус, тангенс і котангенс кутів А ОАВ, А ОВА, А ОВС,
А ОСВ, А ОСВ, А ОВС, А ОАВ, А ОВА, де О (0; 0).
Ответ от учителя
Для побудови чотирикутника АВСВ за координатами його вершин необхідно спочатку намалювати координатну площину і позначити на ній точки А (-2 ; 0), В (0; 2), С (1; 0), В (0; 3).
Потім з’єднаємо ці точки лініями, отримаємо чотирикутник АВСВ.
Для знаходження синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів АОАВ, АОВА, АОВС, АОСВ, АОСВ, АОВС, АОАВ, АОВА, де О (0; 0), необхідно спочатку знайти довжини сторін і діагоналей чотирикутника.
Довжина сторін чотирикутника:
AB = √( (0 — (-2))^2 + (2 — 0)^2 ) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
BC = √( (1 — 0)^2 + (0 — 2)^2 ) = √(1 + 4) = √5
CD = √( (0 — 1)^2 + (3 — 0)^2 ) = √(1 + 9) = √10
DA = √( (-2 — 0)^2 + (0 — 3)^2 ) = √(4 + 9) = √13
Довжина діагоналей чотирикутника:
AC = √( (1 — (-2))^2 + (0 — 0)^2 ) = √(9 + 0) = 3
BD = √( (0 — (-2))^2 + (3 — 2)^2 ) = √(4 + 1) = √5
Тепер можна знайти синус, косинус, тангенс і котангенс кутів АОАВ, АОВА, АОВС, АОСВ, АОСВ, АОВС, АОАВ, АОВА.
Кут АОАВ:
синус кута АОАВ = протилежна сторона / гіпотенуза = AB / AC = 2√2 / 3
косинус кута АОАВ = прилегла сторона / гіпотенуза = OA / AC = 2 / 3
тангенс кута АОАВ = протилежна сторона / прилегла сторона = AB / OA = 2√2 / 2 = √2
котангенс кута АОАВ = прилегла сторона / протилежна сторона = OA / AB = 2 / 2√2 = 1 / √2
Кут АОВА:
синус кута АОВА = протилежна сторона / гіпотенуза = AB / OA = 2√2 / 2 = √2
косинус кута АОВА = прилегла сторона / гіпотенуза = OA / AB = 2 / 2√2 = 1 / √2
тангенс кута АОВА = протилежна сторона / прилегла сторона = AB / OA = 2√2 / 2 = √2
котангенс кута АОВА = прилегла сторона / протилежна сторона = OA / AB = 2 / 2√2 = 1 / √2
Кут АОВС:
синус кута АОВС = протилежна сторона / гіпотенуза = CD / BD = √10 / √5 = √2
косинус кута АОВС = прилегла сторона / гіпотенуза = OA / BD = 2 / √5
тангенс кута АОВС = протилежна сторона / прилегла сторона = CD / OA = √10 / 2
котангенс кута АОВС = прилегла сторона / протилежна сторона = OA / CD = 2 / √10 = √2 / 5
Кут АОСВ:
синус кута АОСВ = протилежна сторона / гіпотенуза = CD / AC = √10 / 3
косинус кута АОСВ = прилегла сторона / гіпотенуза = OA / AC = 2 / 3
тангенс кута АОСВ = протилежна сторона / прилегла сторона = CD / OA = √10 / 2
котангенс кута АОСВ = прилегла сторона / протилежна сторона = OA / CD = 2 / √10 = √2 / 5
Отже, синус, косинус, тангенс і котангенс кутів АОАВ, АОВА, АОВС, АОСВ, АОСВ, АОВС, АОАВ, АОВА дорівнюють:
Кут | Синус | Косинус | Тангенс | Котангенс
— | — | — | — | —
АОАВ | 2√2 / 3 | 2 / 3 | √2 | 1 / √2
АОВА | √2 | 1 / √2 | √2 | 1 / √2
АОВС | √2 | 2 / √5 | √10 / 2 | √2 / 5
АОСВ | √10 / 3 | 2 / 3 | √10 / 2 | √2 / 5
