Вопрос школьника
ABCD — тетраэдр, точки P, Q и E — середины его ребер (рис. 159). а) Докажите, что прямые PQ и AD перпендикулярны, б) Верно ли, что прямая EK (K принадлежит ребру AD) перпендикулярна прямой PQ? в) Найдите угол между прямыми AE и PQ.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник APD. Так как P и Q являются серединами ребер AD и AB соответственно, то PQ || BD и PQ = 1/2 BD. Также, так как E является серединой ребра BC, то AE || BD. Таким образом, мы получаем, что треугольники APQ и ABD подобны с коэффициентом 1/2. Значит, угол между PQ и AD равен углу между AB и AD, то есть 90 градусов.
б) Рассмотрим треугольник AED. Так как E является серединой ребра BC, то DE = EC. Также, так как P и Q являются серединами ребер AD и AB соответственно, то DP = PA и AQ = QB. Значит, треугольники AED и PQB подобны с коэффициентом 1/2. Так как AE || PQ, то угол между EK и PQ равен углу между EK и PQB, который равен углу между AE и AB, то есть не обязательно 90 градусов. Таким образом, прямая EK не обязательно перпендикулярна прямой PQ.
в) Рассмотрим треугольник AEP. Так как P является серединой ребра AD, то AP = PD. Также, так как Q является серединой ребра AB, то AQ = QB. Значит, треугольники AEP и QEB подобны с коэффициентом 1/2. Так как угол между PQ и AB равен 90 градусов, то угол между AE и PQ равен углу между AE и QE, который равен углу между AEP и QEB. Таким образом, угол между прямыми AE и PQ равен углу AEP, который можно найти с помощью теоремы косинусов в треугольнике AEP:
cos(AEP) = (AE^2 + EP^2 — AP^2) / (2 * AE * EP)
Так как AE = 1/2 AB и EP = 1/2 AD, то
cos(AEP) = (1/4 AB^2 + 1/4 AD^2 — 1/4 AD^2) / (AB * AD) = 1/4
Значит, угол AEP равен arccos(1/4), то есть примерно 75.5 градусов. Таким образом, угол между прямыми AE и PQ равен 75.5 градусов.
