Вопрос школьника
Пусть углы треугольника ABC равны ABAC = 40°, CBA = 60°, ACB = 80°. Пусть, далее, О — точка плоскости треугольника такая, что АО = ВО = СО. Докажите, что АОВС = АОСВ = 50°, ОСА =ОАС = 30° и OBA = OAB = 10° (сравните с задачами 466 и 468).
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC является остроугольным, так как все его углы меньше 90°. Также заметим, что точка О является центром описанной окружности треугольника ABC, так как она равноудалена от всех его вершин.
Рассмотрим треугольник AOB. Так как АО = ВО, то углы АОВ и ВОА равны между собой. Пусть эти углы равны x. Тогда угол ОАВ равен 180° — 2x (сумма углов треугольника равна 180°). Так как угол ОАВ равен сумме углов АОС и СОВ, то получаем уравнение:
180° — 2x = 2(50° + x)
Решая его, получаем x = 10°. Значит, углы ОАВ и ВОА равны 10°.
Аналогично рассмотрим треугольник AOC. Так как АО = СО, то углы АОС и СОА равны между собой. Пусть эти углы равны y. Тогда угол ОАС равен 180° — 2y. Так как угол ОАС равен сумме углов АОВ и ВОС, то получаем уравнение:
180° — 2y = 2(50° + y)
Решая его, получаем y = 30°. Значит, углы ОАС и СОА равны 30°.
Наконец, рассмотрим треугольник BOC. Так как ВО = СО, то углы ВОС и СОВ равны между собой. Пусть эти углы равны z. Тогда угол ВОС равен 180° — 2z. Так как угол ВОС равен сумме углов ОВА и ОСА, то получаем уравнение:
180° — 2z = 2(10° + y)
Подставляя найденные значения y и z, получаем z = 50°. Значит, углы АОВС и АОСВ равны 50°.
Таким образом, мы доказали, что углы треугольника ОАВ равны 10°, 50° и 120°, углы треугольника ОАС равны 30°, 50° и 100°, а углы треугольника ОВС равны 80°, 50° и 50°. Все эти углы согласованы с углами треугольника ABC, что подтверждает правильность нашего решения.
