Вопрос школьника
В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно $2a$, а высота $h$. Тогда радиус вписанной окружности равен $r=16$ см. Так как точка касания делит боковую сторону в отношении $9:8$, то длина боковой стороны равна $17x$, где $x$ — расстояние от точки касания до основания треугольника. Тогда $x=frac{8a}{17}$ и $h=sqrt{r^2-x^2}=sqrt{16^2-left(frac{8a}{17}right)^2}$.
Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S=frac{1}{2}ah$. Подставляя найденные значения, получаем:
$$S=frac{1}{2}cdot 2acdot sqrt{16^2-left(frac{8a}{17}right)^2}=frac{1}{2}cdot frac{34a^2}{17}cdot sqrt{16^2-left(frac{8a}{17}right)^2}=frac{34a^2}{17}cdot sqrt{256-frac{64a^2}{289}}.$$
Осталось найти $a$. Для этого заметим, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Пусть $b$ — длина боковой стороны треугольника. Тогда по теореме Пифагора:
$$a^2+h^2=left(frac{b}{2}right)^2,$$
$$a^2+16^2-left(frac{8a}{17}right)^2=left(frac{b}{2}right)^2,$$
$$a^2+frac{256cdot 289-64a^2}{289}=frac{b^2}{4},$$
$$a^2=frac{b^2}{4}-frac{256cdot 289-64a^2}{289},$$
$$frac{290a^2}{289}=frac{b^2}{4}-256,$$
$$a^2=frac{b^2}{1160}-frac{256}{289}.$$
Так как треугольник равнобедренный, то $b=2a$, и мы можем решить полученное уравнение относительно $a$:
$$a^2=frac{(2a)^2}{1160}-frac{256}{289},$$
$$a^2=frac{4a^2}{1160}-frac{256}{289},$$
$$frac{1160a^2-4a^2}{1160}=frac{256}{289},$$
$$a^2=frac{256cdot 1160}{289cdot 1156},$$
$$a=frac{16cdot 2cdot 1160^{1/2}}{289}.$$
Подставляя найденное значение $a$ в формулу для площади треугольника, получаем:
$$S=frac{34cdot 16^2cdot 4cdot 1160}{17cdot 289}cdot sqrt{256-frac{64cdot 16^2cdot 1160}{289^2}}approx 1232.8text{ см}^2.$$
