Вопрос школьника
SABC — правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания. Точки T, K, P и E — середины ребер SC, SB, BC и AC соответственно. Вычислите длину ломаной TKBPET, если сумма длин всех ребер пирамиды равна 18 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо вычислить длину ломаной TKBPET. Для этого нужно вычислить длины всех отрезков, из которых она состоит.
Из условия задачи известно, что боковое ребро пирамиды в два раза больше стороны основания. Обозначим сторону основания через a, тогда боковое ребро будет равно 2a.
Также из условия задачи известно, что сумма длин всех ребер пирамиды равна 18 см. Рассмотрим каждое ребро пирамиды:
— Ребро SA: так как SABC — правильная треугольная пирамида, то высота пирамиды равна боковому ребру, то есть h = 2a. Тогда длина ребра SA равна √(a^2 + h^2) = √(a^2 + (2a)^2) = √(5a^2) = a√5.
— Ребро SB: так как K — середина ребра SB, то SK = KB = a. Тогда длина ребра SB равна 2a.
— Ребро SC: так как T — середина ребра SC, то ST = TC = a√3/2. Тогда длина ребра SC равна 2a√3/2 = a√3.
— Ребро BC: так как P — середина ребра BC, то BP = PC = a/2. Тогда длина ребра BC равна a.
— Ребро AC: так как E — середина ребра AC, то AE = EC = a/2. Тогда длина ребра AC равна a.
Теперь можем вычислить длину ломаной TKBPET:
TK = TS + SK = a√3/2 + a = a(√3/2 + 1)
KP = KB + BP = a + a/2 = 3a/2
PB = PC + CB = a/2 + a = 3a/2
BE = EC = a/2
TE = TA + AE = a√5 + a/2
Тогда длина ломаной TKBPET равна:
TKBPET = TK + KP + PB + BE + TE = a(√3/2 + 1) + 3a/2 + 3a/2 + a/2 + a√5 + a/2 = 4a + a√5 + a√3/2
Так как сумма длин всех ребер пирамиды равна 18 см, то:
a√5 + a + a√3 + 2a√3/2 = 18
a(√5 + 1 + √3 + √6) = 18
a = 18 / (√5 + 1 + √3 + √6)
Тогда длина ломаной TKBPET равна:
TKBPET = 4a + a√5 + a√3/2 = 4 * 18 / (√5 + 1 + √3 + √6) + 18 / (√5 + 1 + √3 + √6) * √5 + 18 / (√5 + 1 + √3 + √6) * √3/2
TKBPET = 18(4 + √5 + √3/2) / (√5 + 1 + √3 + √6)
Таким образом, длина ломаной TKBPET равна 18(4 + √5 + √3/2) / (√5 + 1 + √3 + √6) см.
